0 准备工作
引入标势$\varphi$和矢势$\mathbf{A}$,有
$$
\mathbf{E} = -\nabla \varphi, \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}
$$
则麦克斯韦方程组可以写为
$$
\nabla^2 \varphi = - \rho / \varepsilon_0, \qquad
\nabla^2 \mathbf{A} - \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) = - \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \nabla\frac{\partial \varphi}{\partial t}
$$
1 求解色散关系
1.1 双流程方程组
对于非磁化等离子体,双流体方程组的电子部分可以写为
$$
\left\{
\begin{split}
&\nabla^2 \varphi = - \rho / \varepsilon_0 \\
&\frac{\partial n_e}{\partial t} + \nabla \cdot (n_e \mathbf{u_e}) = 0 \\
&n_e m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = n_e e \nabla \varphi - \nabla p_e
\end{split}
\right.
\tag{1}
$$
1.2 微扰法和平面波化
微扰法:离子作为正电荷背景,即$n_i = n_0$;设电子数密度由背景量和扰动量组成,即$n_e = n_0 + n_{e1}$。则电荷密度$\rho =-e n_{e1}$。
平面波化:设所有的扰动具有指数项$e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}$,即具有平面波的形式,则有$\partial/\partial t = -i\omega$和$\nabla = i\mathbf{k}$。
因此双流体方程中电子部分可以改写为
$$
\left\{
\begin{split}
&-k^2 \varphi = \frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\
&-i\omega n_{e1} + i n_0 \mathbf{k} \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\
&-i\omega n_0 m_e \mathbf{u_e} = i \mathbf{k} n_0 e \varphi - i\mathbf{k} \gamma_e k_B T_e n_{e1}
\end{split}
\right.
\tag{2}
$$
运动速度$\mathbf{u_e}$只考虑波矢$\mathbf{k}$方向的分量。则上述方程组进一步简化为
$$
\left\{
\begin{split}
&-k^2 \varphi = \frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\
&-\omega n_{e1} + k n_0 u_{e\parallel} = 0 \\
&-\omega n_0 m_e u_{e \parallel} = k n_0 e \varphi - k \gamma_e k_B T_e n_{e1}
\end{split}
\right.
\tag{3}
$$
联立上述方程组第二、第三两个方程,消去$u_{e\parallel}$可得
$$
n_{e1} = \frac{k^2 n_0 e}{k^2 \gamma_e k_B T_e - \omega^2 m_e} \varphi
\tag{4}
$$
将上式代入方程组的第一个方程,消去$n_{e1}$和$\varphi$可得朗谬尔波的色散关系为
$$
\omega^2 = \frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e} + \frac{\gamma_e k^2 k_B T_e}{m_e} = \omega_{pe}^2 + \frac{\gamma_e}{2} k^2 v_{the}^2
\tag{5}
$$
2 总结
从上述推导过程可以看出,使用标势推导色散关系相对而言更为简洁,且结论一致。标势的引入,也更有利于将结论推广至弯曲时空。此处,只是一个简单的尝试和复习以前的知识,并无独创之处。
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