0 前言
最近在看文章时，发现有人使用Savitzky-Golay滤波器对数据进行预处理，提取背景值，尝试之后发现效果显著。因此，简单研究下Savitzky-Golay滤波器的原理。
1 Savitzky-Golay滤波器原理
1.1 简介
Savitzky-Golay滤波器（通常简称为S-G滤波器）最初由Savitzky和Golay于1964年提出，发表于Analytical Chemistry 杂志。之后被广泛地运用于数据流平滑除噪，是一种在时域内基于局域多项式最小二乘法拟合的滤波方法。这种滤波器最大的特点在于在滤除噪声的同时可以确保信号的形状、宽度不变$^{[1]}$。
Savitzy-Golay 卷积平滑算法是移动平滑算法的改进。用 Savitzky-Golay 方法进行平滑滤波，可以提高光谱的平滑性，并降低噪音的干扰。Savitzy-Golay 平滑滤波的效果，随着选取窗宽不同而不同，可以满足不同场合的需求$^{[1]}$。
1.2 推导
思想：使用一定长度窗口的数据对窗口中心的数据进行平滑处理。
设窗口的宽度为$2m + 1$，窗口内的数据值为$y_i$， $i = -m,-m+1,\dots,-1,0,1,\dots,m-1,m$，使用$n$阶多项式对其进行拟合，有
$$ f_i = f(i) = \sum_{k=0}^{n} b_k i^k $$
那么拟合数据与原始数据的残差平方和为
$$ R = \sum_{i=-m}^{m} (f_i - y_i)^2 = \sum_{i=-m}^{m} \left( \sum_{k=0}^{n} b_k i^k - y_i \right)^2 $$
使用最小二乘的思想，为了使拟合效果最好，需要使残差的平方和最小，则需要使得所有拟合系数的一阶偏导为零。对于第$l$个系数$b_l$有
$$ \frac{\partial R}{\partial b_l} = 2 \sum_{i=-m}^{m} \left( \sum_{k=0}^{n} b_k i^k - y_i \right)i^l = 0 $$
整理后可得
$$ \sum_{i=-m}^{m} y_i i^l = \sum_{k=0}^{n} b_k \sum_{i=-m}^{m} i^{k+l} $$
对于$l \in [0,n]$可以得到$n+1$个方程，联立后可以解得所有系数$b_l$。写成矩阵形式，有
$$ \begin{bmatrix} (-m)^0 & \dots & 0^0 & \dots & m^0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ (-m)^l & \dots & 0^l & \dots & m^l \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ (-m)^n & \dots & 0^n & \dots & m^n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-m)^0 & \dots & (-m)^k & \dots & (-m)^n \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0^0 & \dots & 0^k & \dots & m^n \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ m^0 & \dots & m^k & \dots & m^n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_0 \\ \vdots \\ b_k \\ \vdots \\ b_n \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-m)^0 & \dots & 0^0 & \dots & m^0 \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ (-m)^l & \dots & 0^l & \dots & m^l \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ (-m)^n & \dots & 0^n & \dots & m^n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{-m} \\ \vdots \\ y_0 \\ \vdots \\ y_m \\ \end{bmatrix} $$
得到所有系数后，将其代回拟合方程，并计算中心点处的拟合值
$$ f_0 = f(0) = b_0 $$
此时，我们就得到了Savitzky-Golay滤波器平滑后的中心点的数值大小。
1.3 一阶形式
当使用一阶多项式进行拟合时，代入上一节矩阵形式，很容易可以得到
$$ \begin{bmatrix} 1 & \dots & 1 & \dots & 1 \\ -m & \dots & 0 & \dots & m \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -m \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 0 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & m \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \dots & 1 & \dots & 1 \\ -m & \dots & 0 & \dots & m \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{-m} \\ \vdots \\ y_0 \\ \vdots \\ y_m \\ \end{bmatrix} $$
整理后可得
$$ \left\{ \begin{split} &b_0 = \sum_{i=-m}^m y_i / \sum_{i=-m}^{m} 1 \\ &b_1 = \sum_{i=-m}^m y_i i / \sum_{i=-m}^{m} i^2 \\ \end{split} \right. $$
从而可以得到中心点处的拟合值为
$$ f_0 = b_0 = \sum_{i=-m}^m y_i / (2m+1) $$
此即为滑窗平均的表达式。
参考：
