0 前言
在物理学中，我们经常会定义一些物理常数，如光速$c$、万有引力常数$G$、普朗克常数$h$等。物理常数的大小往往与量纲紧密相关，科学家们为了统一数值，也才有了国际单位制的诞生。相对物理常数来说，有意义的数学常数要少得多，比较知名的有圆周率$\pi$、自然指数$e$等。虽然数学常数少得多，但它们都不会受到单位“1”的定义而改变大小（只考虑十进制），比如不管一个圆有多大，它的周长永远都是直径的$\pi$倍。今天作为国际数学日（$\pi$ day），自然要好好聊一聊圆周率的故事。
1 符号
$\pi$是第十六个的希腊字母小写，亦是希腊语περιφρεια（表示周边、地域、圆周等意思）的首字母。
1706年，英国数学家威廉·琼斯（William Jones，1675—1749）最先使用$\pi$来表示圆周率。
1736年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）也开始用$\pi$表示圆周率。
从此，$\pi$便成了圆周率的代名词。
2 计算
古希腊数学家阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7，并取它们的平均值3.141851为圆周率的近似值。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形，给出3.141024的圆周率近似值。他将3.14和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率3927/1250=3.1416。
公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。
德国数学家鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen）于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果以39位精度的圆周率值，来计算可观测宇宙（observable universe）的大小，误差还不到一个原子的体积。
3 化圆为方
公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被判处死刑。在监狱等待执行期间，圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，让他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，便提出了一个尺规作图问题“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”。起初他认为这个问题很容易解决，但直至他的好朋友经过多方营救，将其获释出狱，也一无所获。出狱后，他将该问题公布出来，数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。
直至1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明了π是超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。圆周率的超越性彻底否定了“化圆为方”问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数。
4 拉马努金圆周率公式
印度数学家拉马努金在20世纪初发现可以将圆周率的计算转化为一个无穷级数的求和，通过逐项计算这些级数项的值，可以逐渐逼近圆周率的真实值，该公式的原理基于复分析和模形式的理论。他给出的圆周率公式为
$$
\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(4k)!}{k!^4} \frac{26390k+1103}{396^{4k}}
$$
这个公式的收敛速度非常快，只要第一步计算就可以达到祖冲之所达到的精度，而且每增加一项就可以获得8位有效数字。如果采用此公式来计算的话，只需要计算几天时间，就可以得到鲁道夫花费一生时间才得出的结果。正因为该公式惊人的收敛速度，所以现代计算机均采用拉马努金公式及其改进公式来计算$\pi$值。
5 后记
出差回来的途中，在高铁上仔细思考了下自己的现状以及未来的发展计划，总是有些许不如意。现实与理想之间的差距，还需要对自己的性格进行慢慢的打磨。只是希望，渐渐融入生活中的我，依然可以体会到科学研究所带来的乐趣。
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