0 前言

我在23年的时候写了一篇《史瓦西黑洞最内稳定圆轨道计算》的博客，里面的内容也可以推广到一般的静态球对称黑洞。但其中部分讲解不太清晰且度规形式还不够一般，此处用了更为一般的度规形式，且我本人对其理解也更加深刻，因此记录一下。

1 运动方程

在自然坐标系中（$G=c=1$），一般的静态球对称黑洞度规可以写为

$$ d s^2 = -f(r) dt^2 + \frac{d r^2}{h(r)} + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi \tag{1} $$ 其中$f(r)$和$h(r)$对于不同静态球对称黑洞取不同的值，后面统一简写为$f$和$h$。

对于史瓦西黑洞$f(r)=h(r)=1-2M/r$，其中$M$表示黑洞质量。

度规张量为

$$ g_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix} $$ 考虑黑洞周围一个质量为$m$的测试粒子，其拉格朗日作用量为 $$ \widetilde{L} = \frac{m}{2} g_{\mu \nu} \dot{ x }^\mu \dot{ x}^\nu = \frac{m}{2} \left( -f \dot{t}^2 + h^{-1} \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\phi}^2 \right) $$ 为了计算方便，选取坐标系使得测试粒子的轨道面为赤道面，即$\theta = \pi/2$，则拉格朗日作用量简化为 $$ \widetilde{L} = \frac{m}{2} \left( -f \dot{t}^2 + h^{-1} \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \tag{2} $$ 测试粒子的哈密顿量（Hamiltonian）为 $$ \widetilde{H} = \dot{ x}^\mu P_\mu - \widetilde{L} = -mk/2 \tag{3} $$ 其中$k$是一个常数，$P_\mu = \partial \widetilde{L} / \partial \dot{ x}_\mu$表示四动量，简化后的形式如下（赤道面上$P_\theta=0$） $$ \begin{split} &P_t = \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{t}} = -m f \dot{t} \equiv -E, \\ &P_r = \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{r}} = mh^{-1} \dot{r}, \\ &P_\phi = \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{\phi}} = m r^2 \dot{\phi} \equiv L. \end{split} \tag{4} $$ 其中$E$表示能量，$L$表示角动量，是两个守恒量。将(4)式代入(3)，整理后可得 $$ \dot{r}^2 + r^2 h \dot{\phi}^2 + kh = h f \dot{t}^2 \tag{5} $$

倘若写为“动能”与“势能”之和的形式，则有粒子的运动方程为

$$ \dot{r}^2 + V(r) = h f \dot{t}^2 \tag{6} $$ 其中$V(r)$为有效势，形式如下 $$ V(r) = r^2 h \dot{\phi}^2 + kh \tag{7} $$

2 圆轨道条件

测试粒子的运动轨迹是圆轨道，意味着

  • 轨道半径不随时间变化，即$\dot{r} = 0$；
  • 轨道半径处处不随时间变化，即测试粒子的径向加速度为零，即$\ddot{r} = 0$。

a) 对于椭圆轨道，长轴和短轴的端点均满足$\dot{r} = 0$，因此只有这一个条件是不足够限制轨道为圆轨道的；

b) 补充数学知识： $$ \ddot{r} = \frac{d \dot{r}}{d \tau} = \frac{d \dot{r}}{dr} \frac{dr}{d \tau} = \dot{r} \frac{d \dot{r}}{dr} = \frac{1}{2} \frac{d \dot{r}^2}{dr} $$

其中$\tau$表示固有时。

结合(5)式和圆轨道条件，可得

$$ \left\{\begin{split} &h f \dot{t}^2 - r^2 h \dot{\phi}^2 - kh = 0 \\ &(h'f + hf') \dot{t}^2 - r( 2h + r h') \dot{\phi}^2 - kh' = 0 \end{split}\right. \tag{8} $$ 联立上式进行求解，可得 $$ \dot{t}^2 = \frac{2k}{2f - rf'}, \qquad \dot{\phi}^2 = \frac{k f'}{r(2f - rf')}. \tag{9} $$ 结合(4)式，可得 $$ E^2 = \frac{2km^2f^2}{2f - rf'}, \qquad L^2 = \frac{k m^2 r^3 f'}{2f-rf'}. \tag{10} $$ 公式(10)表明，如果测试粒子的能量和角动量满足如上关系，则测试粒子的轨道为圆轨道。

3 最内稳定圆轨道

在第二节中，我们虽然约束了测试粒子的轨道为圆轨道，但仍不能确保轨道是否稳定，即此时的圆轨道既有可能是稳定圆轨道也有可能是不稳定圆轨道。

结合圆轨道条件，对(6)式做变分处理，可得

$$ \frac{d^2 (\delta r)}{d \tau^2} + \omega_r^2 \delta r = 0, \qquad \omega_r^2 = \frac{1}{2} V''(r). \tag{11} $$ 从(11)式可以看出
  • 当$V''(r) > 0$时，方程是简谐振动形式，扰动$\delta r \propto e^{i \omega_r \tau}$，不增长，稳定
  • 当$V''(r) < 0$时，有$\omega_r = i \kappa$，扰动$\delta r \propto e^{\kappa \tau}$，指数增长，不稳定
  • 当$V''(r) = 0$时，临界稳定，对应的圆轨道半径即为最内稳定圆轨道（ISCO）

根据(7)式计算有效势的二阶导数为

$$ V''(r) = (2h + 4 r h' + r^2 h'') \dot{\phi}^2 + kh'' \tag{12} $$ 结合圆轨道条件，即公式(9)的结论，有 $$ V''(r) = \frac{2k(hf' + 2rh'f' + rh''f)}{r(2f - rf')} \tag{13} $$ 上式有解的必要条件是分母不为零，分母为零对应的是光子球半径$r_{ph}$，即 $$ 2 f(r_{ph}) - r_{ph} f'(r_{ph}) = 0 \tag{14} $$ 所以当$r \neq r_{ph}$时，上式可以简化为 $$ hf' + 2rh'f' + rh''f = 0 \tag{15} $$ 因此，方程(15)的根即为黑洞的ISCO。

对于史瓦西黑洞有 $$ f(r) = h(r) = 1 - \frac{2M}{r} $$ 代入公式(15)求解可得$r_{\rm ISCO} = 6M$。