1 朗谬尔（Langmiur）振荡
1.1 限制条件
考虑温度可以忽略不计的非磁化等离子体，对于与电子相关的现象（即高频部分），离子由于质量较大无法及时响应高频振荡，因此可看作不动的正电荷背景。当电子相对离子发生小扰动时，设扰动产生的扰动电场$\mathbf{E_1}$。
下图中红点表示离子，蓝点表示电子。
忽略磁场$\mathbf{B}$的等离子体称为非磁化等离子体，相对地，考虑磁场$\mathbf{B}$的等离子体称为磁化等离子体。
设$n_{e,i}$表示电子/离子数密度，$\mathbf{u_{e,i}}$表示电子/离子速度，$m_{e,i}$表示电子/离子质量，则电荷密度$\rho = e (n_i - n_e)$。
1.2 双流体方程组
由高斯定律可知
$$
\nabla \cdot \mathbf{E_1} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{e}{\varepsilon_0}(n_i - n_e)
\tag{1}
$$
由法拉第电磁感应定律可知
$$
\nabla \times \mathbf{E_1} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0
\tag{2}
$$
电子和离子的运动需要分开讨论，由于离子作为不动的正电荷背景，此处只考虑电子。由连续性方程可知
$$
\frac{\partial n_e}{\partial t} + \nabla \cdot (n_e \mathbf{u_e}) = 0
\tag{3}
$$
由运动方程可知
$$
n_e m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = -n_e e(\mathbf{E_1} + \mathbf{u_e} \times \mathbf{B}) = - n_e e \mathbf{E_1}
\tag{4}
$$
1.3 微扰法和平面波化
微扰法：离子作为正电荷背景，即$n_i = n_0$；设电子数密度由背景量和扰动量组成，即$n_e = n_0 + n_{e1}$。代入上述方程组，并忽略二阶小项，则方程组可改写为
$$
\left\{
\begin{split}
&\nabla \cdot \mathbf{E_1} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\
&\nabla \times \mathbf{E_1} = 0 \\
&\frac{\partial n_{e1}}{\partial t} + n_0 \nabla \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\
&m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = -e\mathbf{E_1}
\end{split}
\right.
\tag{5}
$$
平面波化：设所有的扰动具有指数项$e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}$，即具有平面波的形式。利用$\partial/\partial t = -i\omega$和$\nabla = i\mathbf{k}$对上述方程组进行化简
$$
\left\{
\begin{split}
&i\mathbf{k} \cdot \mathbf{E_1} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\
&i\mathbf{k} \times \mathbf{E_1} = 0 \\
&-i\omega n_{e1} + i n_0 \mathbf{k} \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\
&-i\omega m_e \mathbf{u_e} = -e\mathbf{E_1}
\end{split}
\right.
\tag{6}
$$
由$i\mathbf{k} \times \mathbf{E_1} = 0$可知$\mathbf{k} \parallel \mathbf{E_1}$，运动速度$\mathbf{u_e}$只考虑扰动电场$\mathbf{E_1}$方向的分量。则上述方程组进一步简化为
$$
\left\{
\begin{split}
&i k E_1 = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\
&i\omega n_{e1} - i n_0 k u_{e\parallel} = 0 \\
&i\omega m_e u_{e\parallel} = e E_{1}
\end{split}
\right.
\tag{7}
$$
由上述方程组的第二和第三式消去$u_{e\parallel}$可得
$$
n_{e1} = - \frac{i k n_0 e}{\omega^2 m_e}
\tag{8}
$$
将(8)式代入(7)式第一个方程，消去$E_1$、$n_{e1}$可得
$$
\omega^2 = \frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e} \Rightarrow \omega_{pe} = \sqrt{\frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e}}
\tag{9}
$$
其中$\omega_{pe}$表示朗谬尔频率，也叫做（电子）等离子体频率。由群速度$v_g = d \omega/dk = 0$可知，该振荡只存在于振荡产生的位置，不会向外传播。
2 朗谬尔波
2.1 限制条件
当电子温度不为零且其他条件不变时，由于电子的热运动，可以将振荡区域的信息携带至邻近区域，从而使邻近区域也发生振荡。这样，发生在某处的振荡就能传播出去而形成波，这种波称为等离子体波或朗谬尔波$^{[1]}$。
[1] 《等离子体物理学》李定著，P92.
2.2 色散关系
此时，高斯定律、法拉点电磁感应定律和连续性方程的形式不发生改变，运动方程中需要引入热压梯度项$\nabla p_e$，如下
$$
n_e m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = -n_e e(\mathbf{E_1} + \mathbf{u_e} \times \mathbf{B}) - \nabla p_e = -n_e e \mathbf{E_1} - \nabla p_e
\tag{10}
$$
由状态方程$p_e \rho_e^{-\gamma_e} = {\rm consts}$和$p_e = n_e k_B T_e$以及$\rho_e = -e n_e$，可得
$$
\begin{split}
&\nabla(p_e \rho_e^{-\gamma_e}) = \rho_e^{-\gamma_e} \nabla p_e + p_e \nabla \rho_e^{-\gamma_e} = \rho_e^{-\gamma_e} \nabla p_e - p_e \gamma_e \rho_e^{-\gamma_e - 1} \nabla \rho_e = 0 \\
\Rightarrow & \nabla p_e = p_e \gamma_e \rho_e^{-1} \nabla \rho_e = \gamma_e k_B T_e \nabla n_{e1}
\end{split}
\tag{11}
$$
其中$k_B$表示玻尔兹曼常数，$T_e$表示电子温度，$\gamma_e$表示电子比热比（在绝热假设中，$\gamma_e = 3$；在等温假设中，$\gamma_e = 1$）。将上式代入(10)式，则完整的方程组可以写为
$$
\left\{
\begin{split}
&\nabla \cdot \mathbf{E_1} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\
&\nabla \times \mathbf{E_1} = 0 \\
&\frac{\partial n_{e1}}{\partial t} + n_0 \nabla \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\
&n_e m_e \frac{\partial \mathbf{u_e}}{\partial t} = -n_e e \mathbf{E_1} - \gamma_e k_B T_e \nabla n_{e1}
\end{split}
\right.
\tag{12}
$$
平面波化后，上述方程组改写为
$$
\left\{
\begin{split}
&i\mathbf{k} \cdot \mathbf{E_1} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\
&i\mathbf{k} \times \mathbf{E_1} = 0 \\
&-i\omega n_{e1} + i n_0 \mathbf{k} \cdot \mathbf{u_e} = 0 \\
&-i\omega n_0 m_e \mathbf{u_e} = -n_0 e\mathbf{E_1} - i k \gamma_e k_B T_e n_{e1}
\end{split}
\right.
\tag{13}
$$
同样地，运动速度$\mathbf{u_e}$只考虑扰动电场$\mathbf{E_1}$方向的分量，将上述方程组化简为
$$
\left\{
\begin{split}
&i k E_1 = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_{e1} \\
&i\omega n_{e1} - i n_0 k u_{e\parallel} = 0 \\
&i\omega n_0 m_e u_{e\parallel} = n_0 e E_{1} + i k \gamma_e k_B T_e n_{e1}
\end{split}
\right.
\tag{14}
$$
由上述方程组的第二和第三式消去$u_{e\parallel}$可得
$$
n_{e1} = - \frac{ik n_0 e}{\omega^2 m_e - k^2 \gamma_e k_B T_e} E_1
\tag{15}
$$
将(15)式代入(14)式第一个方程，消去$E_1$、$n_{e1}$可得
$$
\omega^2 = \frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 m_e} + \frac{\gamma_e k^2 k_B T_e}{m_e} = \omega_{pe}^2 + \frac{\gamma_e}{2} k^2 v_{the}^2
\tag{16}
$$
其中$v_{the} = \sqrt{2 k_B T_e / m_e}$表示电子热速度。上式即为朗谬尔波的色散关系，从(16)式可以看出，只有当$\omega > \omega_{pe}$时，朗谬尔波才能传播。
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