Pai Day 0 前言 在物理学中，我们经常会定义一些物理常数，如光速$c$、万有引力常数$G$、普朗克常数$h$等。物理常数的大小往往与量纲紧密相关，科学家们为了统一数值，也才有了国际单位制的诞生。相对物理常数来说，有意义的数学常数要少得多，比较知名的有圆周率$\pi$、自然指数$e$等。虽然数学常数少得多，但它们都不会受到单位“1”的定义而改变大小（只考虑十进制），比如不管一个圆有多大，它的周长永远都是直径的$\pi$倍。今天作为国际数学日（$\pi$ day），自然要好好聊一聊圆周率的故事。 1 符号 $\pi$是第十六个的希腊字母小写，亦是希腊语περιφρεια（表示周边、地域、圆周等意思）的首字母。 1706年，英国数学家威廉·琼斯（William Jones，1675—1749）最先使用$\pi$来表示圆周率。 1736年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）也开始用$\pi$表示圆周率。 从此，$\pi$​便成了圆周率的代名词。 2 计算 古希腊数学家阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7，并取它们的平均值3.141851为圆周率的近似值。 公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形，给出3.141024的圆周率近似值。他将3.14和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率3927/1250=3.1416。 公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。 阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。 德国数学家鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen）于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果以39位精度的圆周率值，来计算可观测宇宙（observable universe）的大小，误差还不到一个原子的体积。 3 化圆为方 公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被判处死刑。在监狱等待执行期间，圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，让他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，便提出了一个尺规作图问题“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”。起初他认为这个问题很容易解决，但直至他的好朋友经过多方营救，将其获释出狱，也一无所获。出狱后，他将该问题公布出来，数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。 直至1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明了π是超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。圆周率的超越性彻底否定了“化圆为方”问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数。 4 拉马努金圆周率公式 印度数学家拉马努金在20世纪初发现可以将圆周率的计算转化为一个无穷级数的求和，通过逐项计算这些级数项的值，可以逐渐逼近圆周率的真实值，该公式的原理基于复分析和模形式的理论。他给出的圆周率公式为 $$ \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(4k)!}{k!^4} \frac{26390k+1103}{396^{4k}} $$ 这个公式的收敛速度非常快，只要第一步计算就可以达到祖冲之所达到的精度，而且每增加一项就可以获得8位有效数字。如果采用此公式来计算的话，只需要计算几天时间，就可以得到鲁道夫花费一生时间才得出的结果。正因为该公式惊人的收敛速度，所以现代计算机均采用拉马努金公式及其改进公式来计算$\pi$值。 5 后记 出差回来的途中，在高铁上仔细思考了下自己的现状以及未来的发展计划，总是有些许不如意。现实与理想之间的差距，还需要对自己的性格进行慢慢的打磨。只是希望，渐渐融入生活中的我，依然可以体会到科学研究所带来的乐趣。

正月初七月球观测 在家测试了下eq5+80APO+天文盒子的组合，刚好最近很适合观测月亮，拍了几组照片，使用ASI自带的行星图片处理功能简单处理了下。 使用AS4!和PS重新处理了昨晚拍摄的月球。 20:16 20:42 注: 每月初七、初八的月相称为上弦月，因为此时可以看到一半的月亮，如同一把弓，又因“弓弦”位于上方，所以称为上弦月。

PTCG-5.5-武汉城市赛参赛记录 0 前言 前段时间报名了1月20号举行的武汉城市赛，入坑一个多月来参加的第一次大型赛事。为了提前适应每场对局限制25分钟的规定，我们在19号晚上打了好几个小时的训练赛，并帮其中一个队友优化了下卡组。我们一共三个人参赛，分别使用三神动物园、水轴连击熊和水轴白马。 1 比赛当天 20号的比赛，上午10点开始核销参赛码，11点45左右开始比赛。本次比赛一共有181人参加，需要先进行7轮的瑞士轮决出8强，再进行3轮淘汰赛。带着进入8强的梦想，开始了今日的比赛。 第一轮：后手对战从未见过的乌贼王VMAX卡组。前期卡奖两只变涩蜥，导致亏了一个轮次。然后一直被乌贼王VMAX的技能削减手牌，最终遗憾输了比赛。比分0-1。 第二轮：后手对战水轴连击熊卡组。平时经常跟连击熊对战，有一定的对战经验，虽然白马卡组面对连击熊卡组稍有劣势，但我相信自己可以好好应对。开局战斗场白马蕾冠王V，备战区两只泪眼蜥，手牌也非常好。后一回合，神抽等级球，只要检索到梦幻，我这把就稳了。然而，牌库里没有检索到梦幻，梦幻居然又在面对连击熊卡组时卡奖。没有梦幻的保护，后二回合被对手穿掉两只泪眼蜥，然后全程卡手无法操作，最终输掉了比赛。比分0-2。 第三轮：后手对战三神卡组。连输两局后，心态已经发生了一些变化，而且这局又是后手，非常的难受。本局的对战过程没有太大的印象了，就记得非常的卡手，轮次落后很严重，然后就输了。比分0-3。 第四轮：先手对战巨金怪VMAX卡组。再次遇到不熟悉的卡组，而且是刚属性的宝可梦，刚好克制白马，不过是先手，还有一战的可能。先一回合，没有摸到白马V底座，先二回合没有能量，先三回合虽然做出两能的白马VMAX，但已经晚了很多。最终遗憾输了比赛。比分0-4。 接下来的三轮瑞士轮，对手都离场了，三轮轮空。 2 赛后感想 首先，组卡组时有些贪心，加入了不少用途不大的卡牌，导致卡手率增加；其次，运气属实不太好，连续三局后手，而且两局关键牌卡奖；最后，实战经验不足，部分对局操作上有些瑕疵，而且有些对手在扔骰子或硬币时，手法不太规范。 对于以后的对战，开局前一定要狠狠地插洗对手牌库五次以上，以最大程度避免对手做牌；然后一定要使用“赛博骰子”（官方微信小程序的扔硬币），以避免手法作弊；最后，白马卡组还是纯粹一些更好，尽可能的保证卡组的流畅度，以打出卡组的上限。

空间物理数据材料整理 0 前言 简单汇总下空间物理学领域部分数据、材料相关的FTP、网站等。 1 数据汇总 序号 简介 链接 备注 1 地磁与太阳活动指数 NOAA-FTP | GFZ-FTP | WDC 爬虫 2 ACE卫星数据 NOAA-FTP 3 GIM Map GIPP-FTP 4 GOLD数据，地球同步轨道远紫外成像仪 GOLD 5 ESA Swarm卫星数据 Swarm 6 NASA太阳观测图像 NASA 7 SEPC太阳H$\alpha$图像 SEPC 8 测高仪数据 GIRO 2 材料汇总 序号 简介 网址 备注 1 国际电联通信相关文档 ITU-R 参考材料 地磁活动指数与太阳活动指数 GFZ数据下载的一种方式分享

PTCG-5.0-白马卡组分享 0 前言 刚入坑PTCG时，开包开出了很多水系宝可梦，随手组了一套水box卡组，但强度很低。去店里打牌的时候，店员推荐可以试一试白马蕾冠王卡组。经过这段时间的磨合，对这套卡组的熟练度稍有提升，分享一下经验。 1 卡组介绍 简介：这是一套纯粹的水轴白马 为了应对连击熊，带了一张梦幻 为了降低成本，没有带咚咚鼠GX、叉字蝠V等工具人 美蓉往往会占据支援者的使用次数，因此加入了两张宝可梦捕捉器代替老大的指令，关键时刻有奇效 修改：目前为5.0版本，几天后将开启5.5版本 必要：5.5版本去掉一张博士的研究，两张无人发电厂，然后加入三张通顶雪道 参考：5.5版本泪眼蜥换为连击泪眼蜥，千面可换一张为连击千面 思路：无脑抢先手，玛俐和竞技场最好一个回合同时拍出 多多练习水轴过牌，时刻控制好手牌数量 把握好填能节奏，避免出现能量不足开不出大招，或者因为用了美蓉而没法使用老大的情况 2 后记 打牌和收集都给我带来了不少快乐，后续也将继续探索新的卡组。需要吐槽的是，3公里以内的道馆居然差不多都倒闭了，每次只能打车去8公里以外的牌店玩。

宝可梦集换式卡牌游戏（PTCG）集卡入门介绍 0 前言 最近接触到了宝可梦集换式卡牌游戏（Pokemon Trading Card Game，PTCG），尝试了两把发现上手很容易，竞技性和娱乐性也挺不错。卡牌游戏的竞技和收集我都很喜欢，开始入坑。 1 卡标、编号与稀有度 PTCG由稀有度决定卡牌的获取难度，不同的大版本具有不同的卡标， 不同的卡牌获取方式具有不同组的编号，具体如下： 稀有度：C、U、R（RR、RRR）、S、PR、A、CHR、SR、SSR、HR、UR C、U、R（RR、RRR）包含了本系列所有效果的卡牌，牌佬使用这些稀有度的卡牌最具有性价比 卡标：简体中文版目前已有A、B、C、D、E五个标准的卡牌 2023/11/06 A标和B标退环境，当前可用卡标为C、D、E 编号：同一版本的扩充包、预组、推广卡、礼盒等具有不同的编号组 扩充包一般具有本版本推出的所有卡牌，其他包有时会加一些额外的卡牌 以5.0版本“激”扩充包的第一张卡牌为例，该卡的编号为CS3bC 001/122 CS3bC 表示5.0版本的“激”扩充包 001 表示该卡牌在本系列的编号位置，如果该数字超过了后面的数字，则表示C、U、R（RR、RRR）以外的稀有卡牌 122 表示本系列卡牌的总数量 因此，出于竞技、收集以及性价比，只收集扩充包的C、U、R（RR、RRR）卡牌最为划算。 2 相关小程序或软件 集换社：卡牌收购或卖出市场，也有卡组分享。微信小程序直接搜索即可，也有独立的App 通顶雪道：具有丰富的卡组分享以及查找卡牌判例。微信小程序直接搜索即可。 对战派对：对战配对、扔硬币等功能。微信小程序直接搜索即可。

108第一届中国象棋比赛 通讯稿——由AI生成 2023年10月27日，北京时间18点30分，象棋界掀起了一场激烈的风暴，108棋协在108成功举办了第一届中国象棋比赛。这场比赛汇聚了象棋领域的佼佼者，包括红岸、Washy、Ivan、231YU、邓春雨、weyhey、Suzaku和派大星，共计8名选手，他们为观众奉献了一场智力与策略的盛宴。 比赛首先进行了三轮积分赛，Washy、邓春雨、weyhey和派大星凭借出色的表现成功晋级，进入了下一轮的淘汰赛，竞逐着更高的荣誉。 随后，淘汰赛通过抽签决定了比赛顺序。在第一轮中，邓春雨迎战Washy，Washy最终获胜，而派大星与weyhey的对决中，weyhey表现出色，成功晋级。来到第二轮，weyhey迎战Washy，weyhey再度展现出强大的象棋技艺，夺得胜利，成为比赛的冠军，而Washy获得亚军。与此同时，派大星对阵邓春雨，派大星也表现出色，获得季军的殊荣。 比赛完美收官，weyhey荣获冠军，不仅有了荣誉的加冕，还获得了一枚珍贵的3D打印奖牌。这场比赛不仅激发了选手们的激情，也展现了象棋智慧的辉煌，将象棋推向了新的高度。我们期待未来更多象棋盛事的举办，以及象棋在108的蓬勃发展。 赛事简报 积分赛 淘汰赛 冠军奖牌

李芒果空岛-1.20.1-发展记录-06 0 前言 由于僵尸猪灵塔需要大量的岩浆块，本期就着手建造岩浆怪农场刷岩浆膏。 1 岩浆怪农场 流程： graph LR; C[寻找雪原]-->A; A[收集至少16桶细雪]-->B[建造岩浆怪农场框架]; D[与流浪商人交易获得南瓜种子]-->F[种植获得南瓜]; F-->B; B-->G[召唤铁傀儡吸引仇恨]; 机制： 下雪天气，使用练药锅可以接到细雪 落入细雪15秒左右会受到冰冻伤害，因此可用来处死岩浆怪 玄武岩三角洲盛产岩浆怪，有飞舞的白色粒子效果，也叫做“头皮屑三角洲” 4个铁块加1个南瓜头可以召唤一只铁傀儡 岩浆怪会主动攻击铁傀儡，因此可用铁傀儡吸引岩浆怪的仇恨，将其聚集起来 需要做的事情： 寻找最近的雪原坐标：1994 ~ 1893 从地狱搭建通往雪原的路 挂机刷流浪商人，交易获取南瓜种子 收集岩浆怪农场的建筑材料，主要是半砖 2 竹子与可可豆 流程： graph LR; A[寻找丛林]-->B[简易钓鱼机]; B-->C[挂机钓鱼获取竹子与可可豆]; 机制： 在丛林群系中，竹子和可可豆会作为垃圾出现在钓鱼物品中，获取概率均为0.8%左右 需要做的事情： 寻找最近的丛林群系：-1858 ~ 1689 从地狱搭建通往丛林的路 制作具有经验修补附魔的钓鱼竿 制作简易的钓鱼机，因为竹子与可可豆属于垃圾，所以不需要开阔水域 参考： 我的世界最简钓鱼机教程 (1.19) 3 后记 挂机刷流浪商人获取南瓜种子花了非常长的时间，游商的交易过于随机，脸很黑；收集细雪也花费了很长的时间，本应使用81桶细雪，最后为了尽快完成建造，只使用了41桶。 由于很早之前我就做了一个没有处死的岩浆怪农场框架，为了省事，对这个框架进行了简单修改，加入细雪处死以及矿车收集部分。在实际使用的过程中，发现细雪的处死效率有些低，大岩浆怪分裂后小岩浆怪无法迅速处死，怪物数量最高达到200+，造成了很大的游戏卡顿，后续需要优化重做。挂机一天左右，收集了一箱半的岩浆块。 最初我以为竹子也是通过游商交易获得，挂机很久等待售卖竹子的游商，后来查询后才知道需要在丛林钓鱼获取，于是前往丛林群系建造了简易的钓鱼机，获取竹子的同时顺便得到了可可豆。 在等待游商期间，对守卫者农场进行了升级改造：从两槽位升级为四槽位，同时增加了物品分类与销毁，修建过程中，挂机收集了3箱左右的海晶石砖。 此外，建造了简易的村民交易所，获得了钻石套以及大部分有用的附魔书交易。实力大幅度提升后，前往末地第一次击杀末影龙。击杀后发现，完全没必要钻石套才来，不附魔的铁套就绰绰有余了。 下一步计划： 建造僵尸猪灵塔 建造猪灵交易机 待完善部分： 改进农场设计：获取足够黑曜石后，升级为双维度岩浆怪农场 改进处死机制：使用凋零玫瑰和青蛙进行处死，以增加处死效率和获得蛙鸣灯

李芒果空岛-1.20.1-发展记录-05 0 前言 上阶段一共刷了11桶岩浆，其中10桶变成了黑曜石用来建造地狱门，最后一桶用来点火开门。打开第一个地狱门后，通过在地狱打掉地狱门自杀的方式，额外刷了20块黑曜石。首先建造了通往守卫者农场的地狱通道，方便以后拿建筑材料；接着去了4000格之外的暖海区域，以获取沙子合成TNT，为建造刷石机做准备。不幸的是，在暖海区域不小心掉入了虚空，身上刚好带着最后一桶岩浆，刷石机的建造计划被迫延期。幸运的是，之前因为担心不小心丢失最有一桶岩浆，刷了8组左右的圆石，一些简单的红石机器还可以建造。 重新规划空岛发展计划之后，决定接下来建造女巫塔刷红石，为接下来的大量红石机器的建造做准备。 1 女巫塔 流程： graph LR; B[击杀僵尸猪灵获取金锭]-->C[与猪灵交易获取沙砾]; C-->D[获取燧石合成打火石]; D-->I; F[查询女巫小屋坐标]-->G[计算下届坐标并铺路前往]; G-->H[刷黑曜石建造地狱门]; H-->I[到达女巫小屋并建造女巫塔]; 机制： 【李芒果空岛】死珊瑚可以被水流冲出沙子 猪灵捡起金锭后，会随机返还一些物品，包括沙砾、黑曜石、哭泣的黑曜石、石英、灵魂沙等 挖掉沙砾时，概率变为燧石，燧石与铁锭合成打火石 女巫小屋的结构内只刷新女巫 女巫死亡后掉落红石粉、萤石粉、木棍、糖、空瓶子、蜘蛛眼等 需要做的事情： 在地狱建造简易的刷怪平台，击杀僵尸猪灵获取金锭 抓一只猪灵进行交易，获取沙砾 查询最近的女巫小屋坐标为336 ~ -1712 在地狱铺路前往对应的女巫小屋的坐标并建造地狱门 收集寻路式女巫塔的建筑材料：玻璃、海晶石砖、海景石砖台阶、活板门等 寻路式女巫塔投影文件 2 后记 在创造模式中简单设计了一个寻路式女巫塔并制作了投影文件，由于需要大量的玻璃，特地跑到暖海区域刷了很久的沙子。不知道什么原因，这个女巫塔的效率不怎么样，不过前期凑合着用已经足够了。 下一步计划： 建造岩浆怪农场 建造僵尸猪灵塔 待完善部分： 完善收集部分：当前采用的漏斗链直连收集，没有做分类，实装发现箱子容量不太够，需要改为水道并做下分类和销毁

史瓦西黑洞最内稳定圆轨道计算 0 前言 最内稳定圆轨道（Innermost Stable Circular Orbit，ISCO）是测试粒子可以稳定地绕广义相对论中的大质量物体运行的最小边缘稳定圆轨道。ISCO的半径$r_{\rm isco}$取决于中心物体的质量和角动量（自旋），它标记了黑洞吸积盘的内边缘。 ISCO 不应与罗希极限混淆，罗希极限是物理物体在潮汐力将其破坏之前可以绕轨道运行的最内点。ISCO 关注的是理论测试粒子，而不是真实物体。一般来说，ISCO 将比罗氏极限更接近中心物体。 本文介绍下如何推导史瓦西黑洞的最内稳定圆轨道，是一篇学习笔记。 1 有效势 在自然坐标系下（$c=G=1$），史瓦西度规的球坐标形式如下 $$ d s^2 = -f dt^2 + \frac{d r^2}{f} + r^2 d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d \phi \tag{1} $$ 其中$f = 1 - 2M/r$，$M$表示黑洞质量。因此度规张量形式为 $$ g_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix} $$ 考虑黑洞周围一个质量为$m$的测试粒子，其拉格朗日作用量为 $$ \widetilde{L} = \frac{m}{2} g_{\mu \nu} \dot{ x }^\mu \dot{ x}^\nu = \frac{m}{2} \left( -f \dot{t}^2 + f^{-1} \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\phi}^2 \right) $$ 为了计算方便，选取坐标系使得测试粒子的轨道面为赤道面，即$\theta = \pi/2$，则拉格朗日作用量简化为 $$ \widetilde{L} = \frac{m}{2} \left( -f \dot{t}^2 + f^{-1} \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \tag{2} $$ 根据四动量的定义$P_\mu = \partial \widetilde{L} / \partial \dot{ x}_\mu$，可知简化后的形式如下 $$ \begin{split} &P_t = \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{t}} = -m f \dot{t} \equiv -E, \\ &P_r = \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{r}} = mf^{-1} \dot{r}, \\ &P_\phi = \frac{\partial \widetilde{L}}{\partial \dot{\phi}} = m r^2 \dot{\phi} \equiv L. \end{split} \tag{3} $$ 其中$E$表示能量，$L$表示角动量，是两个守恒量。测试粒子的哈密顿量（Hamiltonian）为 $$ \begin{split} \widetilde{H} &= \dot{ x}^\mu P_\mu - \widetilde{L} = \frac{m}{2} g_{\mu \nu} \dot{ x}^\mu \dot{ x}^\nu \\ &= \frac{m}{2} \left( -f \dot{t}^2 + f^{-1} \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \end{split} \tag{4} $$ 由$\widetilde{H} = -mk/2$可知 $$ \dot{r}^2 = f(f\dot{t}^2 - r^2 \dot{\phi}^2 - k) = f \left( \frac{E^2}{m^2 f} - \frac{L^2}{m^2 r^2} - k \right) \tag{5} $$ 对上式进行整理，写为“动能”与“势能”之和的形式，即 $$ m^2 \dot{r}^2 + V(r) = E^2 \tag{6} $$ 其中$V(r)$为有效势，形式如下 $$ V(r) = f \left( \frac{L^2}{r^2} + m^2 k \right) \tag{7} $$ 2 圆轨道 测试粒子的运动是圆轨道的条件为 $$ \dot{r} = 0 \quad {\rm and} \quad \ddot{r} = 0 \tag{8} $$ 根据定义式$\ddot{r} \equiv d \dot{r} / dt$以及$\dot{r} \equiv dr/dt$可知 $$ \ddot{r} = \frac{d \dot{r}}{d t} = \frac{d \dot{r}}{dr} \frac{dr}{dt} = \dot{r} \frac{d \dot{r}}{dr} = \frac{1}{2} \frac{d \dot{r}^2}{dr} \tag{9} $$ 联立(5)式和(9)式可得 $$ \ddot{r} = 2ff'\dot{t}^2 - r(2f+rf') \dot{\phi}^2 - kf' \tag{10} $$ 将(5)式和(10)式代入(8)式可得 $$ \dot{t}^2 = \frac{2k}{2f - rf'}, \qquad \dot{\phi}^2 = \frac{kf'}{r(2f - rf')}. \tag{11} $$ 联立(3)式可知 $$ E^2 = \frac{2m^2kf^2}{2f - rf'}, \qquad L^2 = \frac{m^2 k r^3 f'}{2f-rf'}. \tag{12} $$ 3 最内稳定圆轨道 对于最内稳定圆轨道，除了圆轨道条件外，还需要满足有效势的二阶导数为零，即 $$ V''(r) = 0 \tag{13} $$ 首先，对$V(r)$求一阶导数，可得 $$ V'(r) = \frac{dV(r)}{dr} = f' \left( \frac{L^2}{r^2} + m^2k \right) + f \left( \frac{2LL'}{r^2} - \frac{2L^2}{r^3} \right) $$ 根据公式（3）的第三个公式可知$L' = 2L/r$，代入上式可得 $$ V'(r) = f' \left( \frac{L^2}{r^2} + m^2k \right) + \frac{2fL^2}{r^3} = \frac{2f + rf'}{r^3}L^2 + m^2kf' $$ 继续求导，有 $$ \begin{split} V''(r) &= -\frac{3(2f + rf')L^2}{r^4} + \frac{(2f' + f' + rf'')L^2 + (2f+rf')2LL'}{r^3} + m^2kf'' \\ &= (2f + 4rf' + r^2 f'') \frac{L^2}{r^4} + m^2kf'' \\ \end{split} \tag{14} $$ 将(12)式和(14)式代入(13)式，可得最内稳定圆轨道的大小为 $$ r_{\rm isco} = 6M $$ 参考 Innermost stable circular orbit https://ned.ipac.caltech.edu/level5/March01/Carroll3/Carroll7.html